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——谈近三千年来人类对琴弦的研究及引发的思考
杨健
摘要：首先回顾了公元前六世纪到公元十七世纪人们对琴弦的初步研究；随后讨论了达朗贝尔的弦振动方程，并用理想拨弦模型，对拨弦振动的轨迹、触弦点对音色和音量的影响进行了分析；第三部分研究了弓弦作用的原理，介绍了赫尔姆霍茨运动，讨论了弓速、弓压、触弦点、频率和音量之间的关系以及泛音的振动模式；最后，对琴弦研究史中体现出的艺术与科学将逐渐融合的思想，进行了初步探讨。
很多从小和乐器一起长大的演奏者，并不十分了解与自己朝夕相处并可能相伴终身的乐器。正如我们生来就在这个地球上，似乎很少关心它是圆的还是方的。弦乐演奏者们（像我一样拿着弓子在小提琴上运动了少说已有10，000，000个来来回回的人），大都不能令人信服的说出，通常离自己鼻尖不到10厘米的琴弦是如何产生音乐的；更为遗憾的是，大多数国内的自然科学研究者们，对琴弦振动这样的“小儿科问题”也早已失去兴趣。
而事实上，如果能关心一下琴弦振动的原理和其他一些相关的问题，不仅对弦乐演奏技巧有着无可争议的科学指导意义；还会发现在一根根不起眼的琴弦上，竟凝聚着一首首人类认识和改造世界的伟大诗篇；隐含着一些有关哲学和美学基础问题的有益启示，并似乎蕴藏着一个令人激动的美妙世界……
一。自古以来的理想：揭开琴弦表层的神秘面纱
有籍可查的弦乐器可以追溯到撒马利亚人和巴比伦时代，在古埃及法老拉美西斯三世（约1200BC）的陵墓中，就绘有两架装潢讲究的竖琴<1>。公元前6、7世纪左右，在中国等各大文明古国的文献里，开始有了关于琴弦等振动体发音规律的记载，通常认为，人类对琴弦的科学研究开始于古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯（Pythagoras,约585-500BC）。他怀着“万物皆数及和谐”的美学思想，用一个琴马可调的单弦琴，经过反复实验，得到了弦长之比和音程的关系，并创立了五度相生律<2>。
直到17世纪初，人类才得以在对琴弦的认识上向前跨了一小步：由意大利物理学家、天文学家伽利略（GalieoGalilei，1564-1642），通过实验验证了琴弦振动的频率和弦长成反比<3>，即：
<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室式1
其中，<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室是弦振动的频率，<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室是弦长，可以看出这一公式主要只不过把毕达哥拉斯的发现用较严密的数学语言表达了一下而已。
随后，法国科学家梅森（MarinMersenne，1588-1648），在1625年左右又进一步提出了这个至今仍广为流传和使用的经验公式<4>：
<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室式2
其中<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室是琴弦的张力，<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室是琴弦的密度。
到此，人类大约花了两千二百年的时间揭开了琴弦振动最直观的一些性质：它的音高（振动频率）和弦长、弦的材料（密度）和张力之间的关系。但所有的这些结论主要都是基于经验的，没有太多的理论根据。此外，在实验中人们早已发现了泛音的存在，对于这群隐身于弦振动中的不速之客，人们更是无可奈何，找不到任何能够容纳它们的依据。也许，很多人对此都会不屑的说“这有什么奇怪的？这些泛音不过是部分弦长振动产生的结果而已”。图1也似乎成了任何出版物提到这种理论的最佳伴侣：
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图1弦振动谐音波长分布图
但问题是，肉眼凡胎的人们，从来没有看清楚过上面除了整个弦长以外的任何一种振动，更无法充分理解它们如何能在同一次弦振动中和平共处。
二。十八世纪的伟大成就：理想弦振动模型的建立和分析
随着人类的进步，人们逐渐意识到要彻底解开琴弦之谜，关键在于掌握弦上各点的运动规律，并从理论上加以证明。到了十八世纪中叶，经典的物理学已基本建立，但弦是细长的弹性物质，并不能直接对弦运用<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室之类只适用于抽象质点的公式。在牛顿（IsaacNewton,1643-1727）等人创立了微积分之后，很多人开始有信心面对弦振动的问题，把琴弦分成极微小的小段再运用力学公式，但问题却依然存在：人们最关心的任意时刻琴弦上每一点离开平衡位置的偏移量<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室，不仅和这一点在琴弦上的横向位置<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室有关，还随时间<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室变化，这在当时是无法解决的。直到1747年，法国物理学家、数学家和天文学家达朗贝尔（JeanLeRondd'Alembert,1717-1783）在《张紧的弦振动时引起的曲线研究》一文中首次引进了偏导数的概念，提出了弦振动的偏微分方程<5>，问题才开始有了希望。
1.拨弦模型的提出
可以证明在理想情况下，琴弦上任意一点的运动符合以下方程：
<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室式3
其中<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室是琴弦的张力，<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室是琴弦的密度，<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室是弦振动的波速，<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室对于确定的琴弦状态来说是常量<6>。
为简化起见，不妨设琴弦长为<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室，仅在<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室的时刻，在离端点<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室处把弦拉开<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室的距离后自由释放。为了能看清楚，这一距离被大大夸张了（见图2），这也是大部分拨弦乐器最一般的演奏过程。
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图2拨弦振动初始条件
在这种条件下，可从式3中解出：<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室式4
2.拨弦振动轨迹的简要讨论
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图3三种拨弦振动模式图（可参见文末彩图1，彩图2）*
图3是根据式4，用计算机模拟出来的三种拨弦振动，从左到右分别为在弦的1/2，1/5和1/9处拨弦的振动模式，最粗的线代表弦。
首先，我们会发现，琴弦运动的包络线竟然是四边形的，而不是通常所想象的弧线型。关于这一点应该指出，数学模型是理想状态下的，和现实有一定的差异（起码就没有考虑能量损失），但基本相似，特别是在拨弦振动建立的最初瞬间。也许，应该这样全面理解弦的振动：一根绷紧了的琴弦，无法悠闲的完全以我们脑子里固有的那种弧线型方式振动，而必然包含斩钉截铁的直线，不过感谢自然在这些三角形的直线振动里，蕴含了无限多种频率成倍数关系的、美妙的正余弦函数的振动，并用一些非常讨好的比例搭配在一起，所以我们才有可能听到丰满的泛音；而这些隐含的振动通常是不可见的，只有在“自然的照妖镜”：傅立叶（JeanBaptisteJosephFourier,1768-1830）分解的威慑力下，才会乖乖的显现出来。正如我们可以用三棱镜把白光分解为七色光一样<7>。
3.触弦点对音色和音量影响的讨论
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图4三个不同触弦点求出的理论频谱（<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室）*
图4给出了在三个不同点上触弦得到的理论频谱（可从式4算出），假设我们拨动的是一根调成g音的弦，那么图4中每张图中的十二根柱子，近似的就应该对应图5的这前十二个谐音：
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图5g弦振动的前12个谐音*
可以看出大致有以下几条规则（这些结论也可以通过式4直接推导，并且对于拉弦或击弦乐器也基本成立）：
（1）触弦点越接近弦的两端音量越大。明显能看出，图4中从左到右，那些代表谐音振幅的柱子的总面积在增加。
（2）触弦点接近弦两端时，基音的振幅逐渐减小，会激起更多的泛音，最初能使音色变亮，但由于越高阶的泛音越不和谐，所以当过分接近两端时会激起很多噪音。
（3）触弦点越接近弦中点，基音的振幅越大，泛音的振幅则越小，音色就越纯，比如竖琴的音色通常很纯净，就和触弦点较接近弦中点有关。
（4）从图4中可以清楚的看出：在1/2弦长点触弦的频谱里，第2，4，6……谐音的振幅都为零，在1/5弦长点触弦的频谱里，第5，10，15……谐音的振幅为零，在1/9弦长点触弦的频谱里，第9，18……谐音振幅为零。这一现象结合对式4的分析，我们可以得出结论：谐音的振幅分布在随<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室呈平方反比衰减的同时，还伴有一种相对于<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室以<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室为周期的正弦波动，因此所有以触弦点作为波节的谐波都不会出现。
此规则可以给我们用来“消灭”某些不想要的谐音，比如小提琴运弓的位置一般大约在弦长的1/9到1/11处，很大程度上是为了在得到丰满音色的同时，摆脱一些不谐和的高阶谐音<8>。（见图4，5）。
最后要指出，从式3、式4的求解过程中可以证明：拨弦的速度和角度对音色也会产生一定影响，但由于这些无限复杂和多样的“非典型”状态（包括每一件乐器特有的共鸣等等），常常还会破坏理想弦的基本假设，不太值得通过上述方法去进一步讨论。
三。十九世纪至今的不懈追求：弓弦系统实验模型的建立和讨论
西方的提琴家族大约起源于15世纪左右，而中国的二胡也早在唐宋以前就开始出现，但弓到底如何把弦拉响这个看似简单的问题，却直到十九世纪中叶才被德国生理学家、物理学家和解剖学家赫尔姆霍茨（HermannvonHelmholtz,1821-1894）通过实验的方法初步解开。由于用弓拉弦远比拨弦的情况复杂得多，我们几乎无法为其建立一个精确的数学模型，因此这方面的成果大都是通过实验的方法获得的，并且很多问题尚处在进一步研究中。
1.赫尔姆霍茨运动（HelmholtzMotion）<9>
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图6一个周期的赫尔姆霍茨运动（可参见文末彩图3）*
动画演示：
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赫尔姆霍茨通过实验的方法得出了以下结论：当弓子在弦上演奏出正常的乐音时，弓和弦的相对运动如图6所示，称为赫尔姆霍茨运动（HelmholtzMotion）：从第1张图可以看出，弓子首先通过静摩擦力粘住琴弦，并迫使琴弦在接触点和弓子以相同的速度向上运动，产生了一个三角形的尖角，当弓子持续向上运动时，这个尖角逆时针运动并在端点处被反弹回来，从第8张图可以看出弓子还在向上运动，但琴弦在接触点已经相对于弓子向下运动，这时如果弓子的压力适当，琴弦便可以从弓子下面滑落，直到回到原来的位置，开始另一个周期的赫尔姆霍茨运动。
由于赫尔姆霍茨运动的频率（也就是弦振动的基频），通常高达每秒数百到数千次，所以肉眼通常只能看到圆弧型的包络线，且这个包络线会根据弓子运动的两个不同方向略有形变<10>（图7）：
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图7考虑恒定形变的赫尔姆霍茨运动
2.弓速、弓压、触弦点、频率和音量等关系的简要讨论
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图8赫尔姆霍茨运动的讨论<11>
如图8所示，若设向上的方向为正，则在琴弦不同的A,B两点测到的速度应该如图8-b和图8-c所示。综合图6和图8可以发现，要保持良好的赫尔姆霍茨运动，弓子粘住琴弦和琴弦滑落的时间之比取决于弓在琴弦上的位置，当弓子接近琴码时“粘住”琴弦的时间<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室必须加长，而滑落的时间<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室必须减小；远离琴码时<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室必须减小，而<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室必须增大，两个时间的总和为琴弦振动的周期。要做到这一点我们必须合理的调整弓子的压力。事实上，赫尔姆霍茨运动这一矛盾的运动之所以能够出现，完全要归功于在通常情况下静摩擦系数总是比滑动摩擦系数稍大。也就是说在一定的触弦位置下，我们调整运弓力量最主要的目的，就是利用两个摩擦系数之差，让弓子既能在<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室的时间内粘住琴弦运动，又要让琴弦在<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室的时间内能够自由的滑落。从图中可以想象，当弓子向琴码移动时，弓子粘住琴弦的时间<转>走进琴弦的世界-GeTiX-GTX工作室要增大，显然要使用较大压力才能做到这一点，但矛盾在于若使用了更大的压力必然会增大弓子下滑的滑动摩擦，所以我们在日常的经验中发现：在十分靠近琴码的位置要拉出满意的声音是困难的，因为压力允许的范围很小。
在1973年，由J.Schelleng提出了一个图表（图9），比较直观的说明了这些问题<12>：
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图9Schelleng图表
只有在两条直线所夹区域才能获得较好的音色，即能够正常触发赫尔姆霍茨运动。
总结及引发的思考
本文从公元前六世纪毕达哥拉斯的单弦琴实验，一直谈到了二十世纪末至今仍在进行的对琴弦振动原理的研究，并出自笔者作为弦乐演奏者的私心，着重分析了这些原理对于弦乐演奏的意义。其实，历史上对琴弦研究的意义远远不止这些，毕达哥拉斯的琴弦律曾被德国诺贝尔物理奖获得者海森堡（WernerHeisenberg,1901-1976）称为“人类历史上一个真正重大的发现”<14>，这是毫不夸张的，最有意思的一个例子就是，开普勒（JohannsKeplerk,1571-1630）从毕达哥拉斯对弦振动的研究中获得灵感，发现太阳系各行星的轨道也存在一定整数比例的关系，证实了毕氏学派关于“天体音乐”的猜想，并写出了《宇宙和谐论》（HarmoniesoftheWorld,1619）一书，这些结论不仅得到了大自然中某些最高的美的联系，还和他不朽的行星运动三定律息息相关，而这些定律又为牛顿发现万有引力定律铺平了道路<14>。由达朗贝尔提出的那个弦振动的偏微分方程（式3），是历史上意义最为深远的方程之一，开辟了数学的一个极其重要的分支；欧拉（LeonhardEuler,1707-1783），柏努利（DanielBernoulli,1700-1782）等数学大师们围绕此方程解的形式（他们难以相信式4那个由无限多项组成的解）所展开的激烈论战，更是催生了自然科学史上又一首伟大的诗篇<15>：傅立叶分析的降临<16>。难以想象，若没有对琴弦的研究现在的科学将是怎样。
对于音乐，恐怕没有人会怀疑五度相生律等律学基础理论的重大意义；此外，对弦振动泛音现象的研究还成为了拉莫（Jean-PhilippeRameau,1683-1764）等人创立现代和声学体系的理论基础之一<1>。可以看出：自然在弦振动中巧妙的蕴含了音乐横向（音程、音阶等）和纵向（和声、复调等）的基本规范，从这个意义上来说，音乐也起源于琴弦给我们的启发。
看似普通的琴弦却紧紧的联系了艺术和科学两大阵营。放眼望去，当代艺术和科学的界限正越来越模糊，很多地方开始交汇在一起，难分彼此：最大众化的例子就是科学技术被用来充当艺术的载体，产生了五花八门的多媒体艺术，如MIDI音乐等等。在更高的层次上，很多当代音乐的创作大胆的借鉴了数学的方法，而美术作品也开始体现着相对论诞生后人类时空观念的改变。也许我们就快要应证马克思（KarlMarx，1818-1883）在一百多年前说的话：“自然科学往后将包括关于人的科学，正像关于人的科学包括自然科学一样：这将是一门科学。”<17>科学史的奠基人、新人文主义的倡导者萨顿（GeorgeSarton，1884-1956）更是形象的把科学、宗教和艺术比作一个三棱锥塔的三个面，人们在不同的侧面时相距很远，当他们到达一定的高度时就会越来越近……<18>事实上，在人类社会的早期，科学与艺术本来就是一体的，比如古希腊神话里的缪斯是主管科学和文艺之神，人们曾把几何、算术、天文、音乐统称为“四艺”，用来研究宇宙和谐的规律性等等。看来法国文学家福楼拜（GustavFlaubert，1821-1880）的著名论断能更好的说明这一观点：“科学与艺术在山脚下分手，在山顶上会合。”
有人会注意到，萨顿和福楼拜等人的话都暗示着看似在不同方向努力的人们，最终都是奔着某种理想的终极目标而去的。就今天讨论的主要话题来看，似乎可以这样去理解：造物主（如果有的话）很喜欢把通向彼岸的种子，在人类诞生之前就早早的深埋在某些它所钟爱的形式之中——比如一根琴弦，只不过让虔诚的人们以有限的智慧，在他们能够存在的狭小时空中，从多个不同的侧面去进行探索和耕耘，在经历无穷的曲折之后，最终都应该盛开同样美丽的花朵。
笔者在这里憧憬艺术和科学的统一似乎显得过于乐观，也大大超过了自己的能力。也许，近年来流行的终极理论（TheoryofEverything-TOE）之一：超弦（SuperstringTheory）<19>能够再次给予人们启示：根据这个拥有完美数学框架的学说，所有物质的最小结构，都是一根根以不同方式振动的弦——我们眼前的一切（包括您自己），都不过是无数振动的“琴弦”而已……
本文原载《自然杂志》26卷（2004年）第三期117-183页与封二彩图
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彩图1根据达朗贝尔的弦振动方程模拟出的拨弦振动图，白色线条是琴弦的运动轨迹，彩色线条是其内含所有泛音的振动轨迹，详见正文第二部分。
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彩图2拨弦后在弦上会形成两个尖角，同时向弦的另一端运动并反弹回来，如此循环。由于拨弦振动过程短暂、能量衰减快、频率高、振幅小，人们对此的直观认识通常较片面，详见正文第二部分。
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彩图3拉弦振动时，通过弓子的恰当摩擦，可以在弦上产生一个三角形的尖角，并在琴弦上作周期性转动。由于频率较高，肉眼通常只能看到圆弧型的包络线。详见正文第三部
